Mitarbeit: September 2004 bis Dezember 2006

Summary

Topologie ist eine wesentliche Grundlage der Gebäudemodellierung. Daher wurden topologische Räume und ihre Darstellung am Rechner untersucht. Dabei entstand zunächst das Datenmodell DKetKomp als Kategorie der relationalen Kettenkomplexe. Dieses ist im Wesentlichen die Übertragung der Definition von Kettenkomplexen in das relationale Datenmodell. Aus der Definition der Topologie in DKetKomp entstand DTop, die Kategorie der topologischen Datenbanken, welche sich als ein für jeden endlichen topologischen Raum hinreichend mächtiges Datenmodell erwies. Ursprünglich waren die Datenmodelle DKetKomp und DTop lediglich als Referenzmodelle zum topologischen Modellieren vorgesehen. Die gefundenen Datenmodelle erwiesen sich jedoch darüber hinaus als von sehr einfacher Natur und in naheliegender Weise implementierbar, sodass diese selbst als geeignet für die konsistente raum-zeitliche Modellierung von Gebäuden in verschiedenen Detaillierungsstufen angesehen werden konnten. Die Kategorie DKetKomp erlaubt die Speicherung topologischer Komplexe mit relativ wenig Informationsverlust, DTop erlaubt gar die Informationsverlustfreiheit in der Speicherung endlicher topologischer Räume und ist assymptotisch effizienteste Datenstruktur für Alexandrovräume. Die kategorielle Sichtweise an sich erlaubt die Datenbankmodellierung von Beziehungen zwischen architektonischen Räumen vermöge ihrer Morphismen. Es konnten topologische Datenbankabfragen entwickelt werden, was ein allgemeines Datenmodell zum topologischen Modellieren mit relationalen Datenbanken ergibt. Hierbei muss eine Abfragesprache i.A. die transitive Hülle einer Relation berechnen können, was in den meisten praktisch auftretenden Fällen jedoch nicht erforderlich sein dürfte. Schließlich wurden die Euler-Operatoren aus der Volumenmodellierung zu Euler-Poincare-Operatoren für architektonische Komplexe erweitert und gezeigt, dass diese sich algebraisch aus zwei fundamentalen Operatoren aufbauen lassen. Für die Berechnung der Bettizahlen von topologischen Modellen architektonischer Komplexe wurde ein Algorithmus gefunden, und dieser verwendet dabei Euler-Poincare-Operatoren.